МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

УКРАЇНСЬКА ІНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГІЧНА АКАДЕМІЯ

 

 

 

 

 

 

Г.О. Рудакова, А.М. Шкілько

 

 

Модульні завдання

з І частини курсу фізики

 

 

Навчально-методичні матеріали

для самостійної роботи студентів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків УІПА 2005


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

УКРАЇНСЬКА ІНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГІЧНА АКАДЕМІЯ

 

 

 

 

 

 

 

Г.О. Рудакова, А.М. Шкілько

 

 

Модульні завдання

з І частини курсу фізики

 

 

Навчально-методичні матеріали

для самостійної роботи студентів

 

 

 

 

 

Затверджено

Ріішенням Методичної Ради Української інженерно-педаго-гічної академії, протокол №   від 00.00.05 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків УІПА 2005

 


Модульні завдання з І частини курсу фізики.

Навчально-методичні матеріали для самостійної роботи студентів усіх спеціальностей.

 

 

 

Г.О. Рудакова, А.М. Шкілько

 

 

Навчальне видання

 

 

Рецензент Федорук С.О., кандидат фіз.-мат. наук, доцент

 

 

 

 

 

 

 

 © Рудакова Галина Олександрівна, Шкілько Анатолій Максимович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Фізика є основою практично всіх загальноінженерних і спеціальних дисциплін. Глибоке знання фізики необхідно студентам інженерно-педагогічних спеціальностей, тому що характер їхньої майбутньої роботи потребує творчого відношення до справ, вміння безупинно самостійно поповнювати свої знання, розвитки філософського світогляду. У свою чергу, оволодіння основами фізики потребує від студентів великого обсягу самостійної роботи, зокрема, рішення великої кількості задач з відповідних розділів курсу.

Дійсні методичні вказівки містять задачи для індивідуальних домашніх завдань з таких поділів курсу, що вивчаються у першому семестрі: кінематика і динаміка поступального й обертального рухів, молекулярна фізика і термодинаміка. По кожному розділу передбачено 30 варіантів домашніх завдань. Вибір варіанта і терміни виконання домашнього завдання призначає викладач.

 

Загальні вказівки до самостійної роботи

Для одержання тривких і глибоких знань необхідно при вивченні матеріалу виконувати такі вимоги:

1. Займатися систематично.

2. Після вивчення відповідного розділу скласти стислий конспект, що включає основні формули і закони, визначення фізичних розмірів і їхньої розмірності, зробити відповідні малюнки і креслення.

3. Розібрати приклади рішення задач.

4. Вивчати матеріал необхідно по навчальних посібниках, приведених у списку літератури, конспекті лекцій і дійсних методичних вказівок. У разі потреби варто обертатися за консультаціями до викладачів кафедри фізики.

 

Вказівки до рішення задач і виконання домашніх завдань

Рішення конкретних задач є необхідною практичною основою при вивченні курсу фізики.

При рішенні задач важливо додержуватися таких правил:

1. Перед тим, як приступити до рішення задачі, необхідно вивчити її умову і чітко усвідомити, які фізичні величини відомі, а які потрібно визначити.

2. Висловити всі величини в одній системі одиниць (СИ). Чисельні значення фізичних величин записати як число порядку одиниці, помноженої на десять у відповідному ступені. Так, число 467 зручно записати у виді 4,67·102, а число 0,0369 - у виді 3,69·10-2.

Такий запис полегшує обчислення і, отже, зменшує можливість арифметичної помилки.

3. Зробити, якщо необхідно, креслення, схему, малюнок, що пояснюють умову задачі. Це дозволяє глибше зрозуміти фізичний зміст аналізованого явища і полегшує рішення задачі.

4. Виписати формули і закони, що характеризують аналізоване в задачі явище. Рішення задачі аж до одержання остаточної робочої формули варто проводити загалом, у буквеному вигляді, і тільки в остаточну формулу, що виражає шуканиу величину, підставляти чисельні значення величин, що входять у формули. Обчислення, як правило, варто проводити до одержання результату з трьома значущими цифрами, що відповідає точності розрахунку порядку відсотків.

5. Після виведення робочої формули перевірити розмірність одержуваної величини шляхом підстановки в праву частину формули замість символів величин їхньої розмірності в одиницях СИ.

 

До оформлення домашнього завдання подаються такі вимоги:

 

1. Завдання даного семестру повинні бути оформлені в окремі зошити з вказівкою варіанта. Кожне домашнє завдання повинно бути перевірено викладачем і зараховано їм після співбесіди зі студентом. Зошит із зарахованими роботами варто здати викладачу.

2. Текст кожної задачі повинний бути цілком переписаний, крім того, необхідно виписати окремо в одиницях СИ значення усіх фізичних величин, що входять у задачу.

3. Рішення задачі повинно супроводжуватися стислими, але вичерпними поясненнями.

4. У зошиті лишати поля і місце для зауважень викладача.

5. Наприкінці кожного варіанта домашнього завдання необхідно поставити дату виконання.

6. Якщо деякі задачі вирішені невірно, їх необхідно вирішити вдруге наприкінці завдання з урахуванням зауважень викладача. Виправлення в першому варіанті робити не слід.

 

 

 

 


1. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

 

Основні формули

Кінематичне рівняння руху матеріальної точки (центру мас твердого тіла) уздовж осі х:

 

x = ¦(t),                                                    (1.1)

 

де f(t) - деяка функція часу.

Середня швидкість

 

                                    (1.2)

 

Середня колійна швидкість:

         ,                                     (1.3)

 

де - шлях, що пройшла точка за інтервал часу .

Шлях  на відміну від різниці координат  не може убувати і приймати негативні значення, тобто .

Миттєва швидкість:

 

                                                   (1.4)

 

Середнє прискорення:

 

                                           (1.5)

 

Миттєве прискорення:

 

                                                (1.6)

 

Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:

 

j = ¦(t),    r = R = const                                   (1.7)

 

Кутова швидкість:

 

                                                    (1.8)

 

Зв'язок між кутовою швидкістю, числом обертів і періодом обертання:

 

                                                    (1.9)

 

Кутове прискорення:

 

                                                    (1.10)

 

Зв'язок між лінійними і кутовими величинами, що характеризують прямування точки по колу:

 

, , ,                   (1.11)

 

де  - лінійна швидкість;  і  - тангенціальне і нормальне прискорення;  - кутова швидкість;  - кутове прискорення; R - радіус кола.

Повне прискорення:

 

                 або             .            (1.12)

 

Кут між повним  і нормальним  прискореннями:

 

                              (1.13)

 

Імпульс матеріальної точки масою m, що рухається поступально зі швидкістю :

 

                                                   (1.14)

 

Другий закон Ньютона:

 

                                                  (1.15)

 

де - сила, що діє на тіло.

Сили, що розглядаються у механіці:

а) сила пружності

 

,                                                    (1.16)

 

де k - коефіцієнт пружності (у випадку пружини - жорсткість); x - абсолютна деформація;

 

б) сила ваги

 

;                                                   (1.17)

 

в) сила гравітаційної взаємодії

 

,                                           (1.18)

 

де G - гравітаційна стала ; m1 і m2 - маси взаємодіючих тіл; r - відстань між тілами (тіла розглядаються як матеріальні точки).

У випадку гравітаційної взаємодії силу можна виразити також через напруженість  гравітаційного поля:

 

;                                                  (1.19)

 

г) сила тертя (ковзання)

 

F=f,                                               (1.20)

 

де f - коефіцієнт тертя; N - сила нормального тиску.

 

Закон збереження імпульсу:

 

,                                        (1.21)

 

або для двох тіл (i=2):

 

,                           (1.22)

де  і - швидкості тіл у момент часу, прийнятий за початковий;  і - швидкості тих же тіл у момент часу, прийнятий за кінцевий.

Кінетична енергія тіла, що рухається поступально:

 

  або    .                                      (1.23)

 

Потенційна енергія:

а) пружнодеформованої пружини

 

,                                                        (1.24)

 

де k - жорсткість пружини; x - абсолютна деформація;

б) гравітаційної взаємодії

 

,                                        (1.25)

 

де G - гравітаційна стала; m1 і m2 - маси взаємодіючих тіл; r - відстань між ними (тіла розглядаються як матеріальні точки);

в) тіла, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння,

 

П = mgh,                                                 (1.26)

 

де g - прискорення вільного падіння; h - енергія тіла над рівнем, що прийнятий за нульовий (формула слушна за умови h<<R, де R - радіус Землі).

Закон зберігання механічної енергії:

 

E=T+П=const.                                        (1.27)

 

Робота сталої сили на шляху S

 

,                                  (1.28)

 

де - кут між напрямком сили і напрямком переміщення.

Робота змінної сили на ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2

 

.                                       (1.29)

Робота А, що чиниться зовнішніми силами, визначається як міра зміни енергії системи:

 

.                                             (1.30)

 

Потужність

    або                                 (1.31)

 

Основне рівняння обертального руху щодо нерухомої осі Z:

 

,                                               (1.32)

 

де Mz - результуючий момент сил щодо осі Z, що діють на тіло;  - кутове прискорення; Iz - момент інерції тіла щодо осі обертання.

Момент інерції деяких тіл масою m щодо осі z, що проходить через центр мас:

а) стержня довжиною l щодо осі, перпендикулярної стержню,

 

;                                                      (1.33)

 

б) обруча (тонкостінного циліндра) щодо осі, перпендикулярної площини обруча (збіжної з віссю циліндра),

 

,                                                (1.34)

 

де R - радіус обруча (циліндра);

в) диска радіусом R щодо осі, перпендикулярної площини диска,

 

.                                                      (1.35)

 

Момент імпульсу тіла, що обертається щодо нерухомої осі Z:

 

,                                                (1.36)

 

де  - кутова швидкість тіла.

Закон збереження моменту імпульсу системи тіл, що обертаються навколо нерухомої осі:

 

 ,                                           (1.37)

 

де ,  і ,  - моменти інерції системи тіл і кутові швидкості обертання в моменти часу, прийняті за початковий і кінцевий.

Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої оси Z:

 

         або    .                              (1.38)

 

Тривалість подій у різних системах відліку:

 

.                                         (1.39)

 

Довжина тіл у різних системах відліку:

 

.                                         (1.40)

 

 

Закон додавання швидкостей

 

,                                         (1.41)

 

де U - швидкість матеріальної точки щодо нерухомої системи відліку K; U' - швидкість матеріальної точки щодо рухливої системи відліку K' ;  - швидкість системи K' щодо системи K.

Релятивістська маса:

 

  або    ,                         (1.42)

 

де m0 - маса спочинку частки;  - її швидкість; c - швидкість світла у вакуумі; - швидкість часток, виражена в частках швидкості світла ().

Взаємозв'язок маси й енергії релятивістської частинки:

 

             або    ,                            (1.43)

 

де  - енергія спокою частинки:

Повна енергія вільної частинки:

 

E = E0 + T,                                                       (1.44)

 

де T - кінетична енергія релятивістської частинки.

Кінетична енергія релятивістської частинки:

 

T =  (m m0)c2            або    .             (1.45)

 

Імпульс релятивістської частинки:

 

  або    .                            (1.46)

 

Зв'язок між повною енергією й імпульсом релятивістської частки

 

.                                              (1.47 )

 

 

2. ПРИКЛАДИ РІШЕННЯ ЗАДАЧ

 

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид , де A=2 м, B =-2 м/с, C = 0,5 м/с3. Знайти координату X, швидкість  і прискорення a точки в момент часу t = 3 c. Знайти середні значення швидкості  і прискорення  у проміжку часу від t1 = 2 c до t2 = 3 с.

Рішення. Координату X знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів A, B, C і часу

 

X = 2-2·3 + 0,5·33 = 9,5 м.

 

Миттєва швидкість є перша похідна від координати за часом

 

.

 

У момент t = 3 с швидкість

 

 = -2 + 3·0,5·32 = 11,5 м/с.

 

Миттєве прискорення дорівнює першою похідною від швидкості або другої похідної від шляху за часом

 

.

 

У момент часу t = 3 с

 

а = 6·0,5·3 = 9 м/с2.

 

Середня швидкість визначається відношенням

,

 

де  - шлях, пройдений в інтервалі  тобто

 

 

Середнє прискорення визначається формулою

 

.

 

Тут  = 11,5 м/с, t2 t1 = 1 c

 

т.е. .

 

Приклад 2. Точка рухається по колу радіусом R = 4 м згідно рівняння , де A = 4 м/с, B = 2 м/с2, C = 1 м/с3. Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення точки в момент часу t = 2 с.

Рішення. Тангенціальне прискорення визначається формулою , де , отже, at  = 2B + 6Ct, або в момент часу t = 2 с at  = 2·2 + 6·1·2 = 16 м/с2. Нормальне прискорення визначається формулою , де в момент часу t = 2 с швидкість  = 2·2·2 + 3·1·4 = = 20 м/с. Тоді нормальне прискорення

 

.

 

Повне прискорення  або .

 

Приклад 3. Тіло кинуте під кутом a  = 300 до обрію зі швидкістю  = 30 м/с. Знайти найбільшу висоту підйому тіла, дальність і час його польоту. Опором повітря зневажити (мал. 1).

 

 

Рис. 1.

 

Розкладемо початкову швидкість  на дві складові - горизонтальну  і вертикальну  . У силу принципу незалежності рухів підйом тіла визначається величиною вертикальної складової швидкості, дальність польоту - її горизонтальної складової. Час підйому тіла tпод знайдемо з умови , тому що вертикальна складова швидкості тіла у верхній точці польоту дорівнює нулю, отже:

,

 

або , звідкіля час польоту tпол = 2tпод = 3,06 с.

Висота підйому визначається формулою

 

.

 

Підставляючи в цю формулу вираження для часу підйому, одержуємо

 

,

тобто

.

 

Дальність польоту тіла знайдемо з умови, що горизонтальна швидкість польоту не змінюється, а повний час польоту дорівнює подвоєному часу підйому,

тобто                                      ,

відкіля

.

 

Приклад 4. Дві кульки масами 2,5 і 1,5 кг рухаються назустріч одна одній зі швидкостями 6 і 2 м/с. Визначити: швидкості кульок після удару; кінетичні енергії кульок до і після удару; частку кінетичної енергії кульок, що перетворилася у внутрішню енергію. Удар вважати прямим, непружним.

Дано: m1 = 2,5 кг; m2 = 1,5 кг;   = 6 м/с;  = 2 м/с.

Знайти: U; T1; T2; k.

Рішення. 1. Непружні кульки після удару не відновлюють своєї форми. Виходить, не виникають сили, що відштовхують кульки одну від одної, і кульки після удару рухаються разом з однією і тією ж швидкістю U. Цю швидкість можна визначити за законом збереження імпульсу  або з урахуванням напрямку прямування кульок , відкіля

,

 

.

2. Кінетичні енергії кульок до і після удару визначимо по формулах

 

;     .

 

Розрахунок, що зроблений по цих формулах, дає

 

T1 = 48 Дж;                           T1 = 18 Дж.

 

3. Порівняння кінетичних енергій кульок до і після удару показує, що в результаті непружнього удару кульок відбулося зменшення їхньої енергії, за рахунок чого збільшилась внутрішня енергія. Частку кінетичної енергії, яка пішла на збільшення внутрішньої енергії, визначимо із співвідношення

 

.

 

Приклад 5. При пострілі з пружинного пістолета вертикально нагору куля масою 20 г піднялася на висоту 5 м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на 10 см. Масою пружини зневажити.

Дано: m = 20 г = 2·10-2 кг; h = 5 м; S = 0,1 м.

Знайти: k.

Рішення. Скористаємося законом збереження енергії. При зарядці пістолета пружина стискується і відбувається робота А1, в результаті чого пружина набуває потенційної енергії П1. При пострілі потенційна енергія пружини переходить у кінетичну енергію кулі, а потім при підйомі її на висоту h перетворюється в потенційну енергію П2 кулі.

Тоді на основі закону збереження енергії можна записати

 

А1=П2                                                                                          (1)

 

Висловимо роботу А1. Сила F1, стискаючи пружину, є змінної: у кожний момент вона по напрямку протилежна силі пругкості F і чисельно їй дорівнює. Сила пружності, що виникає в пружині при її деформації, визначається за законом Гука F=-kх, де х - абсолютна деформація пружини.

Робота змінної сили обчислюється як сума елементарних робіт. Елементарна робота при стиску пружини на dx висловиться формулою

         або    dA1 = kxdx.

 

Тоді

                                            (2)

 

Потенційна енергія кулі на висоті h визначається формулою

 

П2 = mgh.                                                  (3)

 

Підставивши в (1) вираження A1 із (2) і П2 із (3), знайдемо

,

 

відкіля

 

,                                                            (4)

 

.

 

Перевіряємо одиницю виміру отриманої величини

 

.

 

Приклад 6. Тіло масою 1 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно. Залежність шляху, пройденого тілом, від часу задана рівнянням S = 2t2 + 4t + 1 (м). Визначити роботу сили за 10 с з початку її дії і залежність кінетичної енергії від часу.

Дано: m=1 кг; S = 2t2 + 4t + 1 (м).

Знайти: A; T = f(t).

Рішення. Робота, що чиниться силою, виражається через криволінійний інтеграл

 

                                                          (1)

 

Сила, діюча на тіло, по другому закону Ньютона

 

F=ma                або             .                                      (2)

 

Миттєве значення прискорення визначається першою похідною від швидкості за часом або другою похідною від шляху за часом. Відповідно до цого знаходимо:

 

                                                           (3)

 

        м/с2.                                                (4)

Тоді

 

F = 4m.                                                    (5)

 

З вираження (3)

 

                               (6)

 

Підставивши (5) і (6) у рівняння (1), отримаєм

 

.

 

Робота, що чиниться силою за 10 с із початку її дії,

 

 

Кінетична енергія визначається формулою

 

                                                (7)

 

Підставивши (2) у (7), отримаєм

 

.

 

Приклад 7. На двох шнурах однакової довжини, рівної 0,8 м, підвішені дві свинцевих кульки масами 0,5 і 1 кг. Кульки стикаються. Кульку меншої маси відвели убік так, що шнур відхилився на кут 600, і відпустили. На яку висоту піднімуться обидві кульки після відхилення? Удар вважати центральним і непружним. Визначити енергію, витрачену на деформацію кульок при ударі.

 

Рис. 1.

 

Дано: m1 = 0,5 кг, m2 = 1 кг; a = 600, l = 0,8 м.

Знайти: h, DЕ.

Рішення. У зв´язку з титм, що удар непружний, після удару кульки будуть рухатися з спільною швидкістю . Закон збереження імпульсу при цьому ударі має вигляд

 

                                         (1)

 

Тут  і  - швидкості кульок до удару. Швидкість більшої кульки до удару дорівнює нулю (). Швидкість меншої кульки знайдемо, використовуючи закон збереження енергії. При відхиленні меншої кульки на кут a їй передали потенційну енергію, що потім переходить у кинетичну

 

                                                   (2)

 

З рис. 1 видно, що , тому

 

                                           (3)

 

З рівнянь (1) і (2) знаходимо швидкість кульок після удару

 

                                (4)

 

Кінетична енергія кульок після удару переходить у потенциальну

 

,                                      (5)

 

де h - висота підняття кульок після зіткнення. З формули (5) ,

або з урахуванням (4)

 

                                         (6)

 

 

При непружньому ударі кульок частина енергії витрачається на їхню деформацію. Енергія деформації визначається різницею кінетичних енергій до і після удару

 

                                             (7)

 

Використовуючи рівняння (3) і (4), отримаєм

 

                              (8)

 

 

Приклад 8. Вантаж масою 700 кг падає з висоти 5 м для забивання палю масою 300 кг. Знайти середню силу опору грунту, якщо в результаті одного удару паля входить у грунт на глибину 4 см. Удар між вантажем і палею вважати абсолютно непружним.

Дано: m1 = 700 кг; h = 5 м; m2 = 300 кг; S = м.

Знайти: <F>.

Рішення. За умовою задачі удар непружний і тому вантаж і паля після удару рухаються разом, їхній шлях 4 см. На систему, що рухається , діє сила ваги і сила опору грунту <F>. За законом збережання енергії

 

                                                   (1)

 

де T - кінетична енергія; П - потенційна енергія; А - робота сил опору.

 

A=<F>S                                                           (2)

 

При прямуванні системи на шляху S потенційна енергія змінюється на величину

 

                                           (3)

 

кінетична енергія змінюється до нуля, тому

 

                                           (4)

 

де U - спільна швидкість вантажу і палі після удару (на початку їхнього сумісного прямування), що можна знайти з закону збереження імпульсу

 

                                                     (5)

 

де  - швидкість вантажу наприкінці падіння з висоти h.

Без урахування опору повітря і тертя швидкість вантажу наприкінці падіння його з висоти h визначається формулою

 

                                                (6)

 

Спільна швидкість вантажу і палі після удару з (5) з урахуванням (6)

                                          (7)

 

Підставивши в рівняння (1) вираження (2) - (4), (7), отримаємо

 

                         (8)

 

відкіля

 

                              (9)

 

Перевіряємо одиницю виміру отриманого величини

 

 

Приклад 9. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом, який виражається формулою = 10 + 20t - 2t2. Знайти по величині і напрямку повне прискорення точки, що знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання, для моменту часу t = 4 c.

Дано: = 10 + 20t - 2t2; r = 0,1 м; t = 4 c.

Знайти: , , .

Рішення. Повне прискорення точки, що рухається по кривій лінії, може бути знайдена як геометрична сума тангенціального і нормального  прискорень.

 

                                                                                      (1)

 

Тангенціальне і нормальне прискорення точок обертового тіла виражається формулами:

 

                                                                      (2)

 

                                                                      (3)

 

де - кутова швидкість тіла;  - кутове прискорення тіла; - відстань точки від осі обертання.

Підставляючи вираження (2), (3) у (1), знаходимо

 

                                      (4)

 

Кутова швидкість обертового тіла дорівнює першою похідною від кута повороту за часом

 

 

У момент часу t = 4 с кутова швидкість

 

.

 

Кутове прискорення обертового тіла дорівнює першою похідною від кутової швидкості за часом

 

.

 

Це вираження кутового прискорення не містить часу, отже, кутове прискорення має постійне значення. Підставляючи знайдені значення  й у формулу (26), отримаєм

 

.

 

Напрямок повного прискорення визначається кутами, що вектор прискорення утворить із дотичної до траєкторії або з нормаллю до неї

 

,                          (5)

 

.                          (6)

 

Знайдемо по формулах (2), і (3) значення  і :

 

;

 

.

 

Підставимо ці значення у формули (5), (6)

 

;

 

.

Користуючись тригонометричними таблицями, знаходимо значення шуканих кутів

 

               .

 

Приклад 10. Циліндр вагою 100 Н насаджений на горизонтальну вісь. На циліндр намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря вагою 20 Н. З яким прискоренням буде спускатися гиря, вагою 20 Н. З яким прискоренням буде спускатися гиря, якщо її надати самій собі (рис. 1).

 

Рис. 1

 

Дано: Р = 100 Н; Р1 = 20 Н.

Знайти: а

Рішення. Лінійне прискорення а гирі дорівнює тангенціальному прискоренню точок циліндра, що лежать на його поверхні, і пов'язано з кутовим прискоренням  обертання циліндра співвідношенням

 

,                                             (1)

 

де r - радіус циліндра.

Кутове прискорення циліндра визначається з основного рівняння динаміки для обертального прямування

 

,                                          (2)

 

де М - обертаючий момент, що діє на циліндр; I - момент інерції циліндра, що визначається формулою

 

.                                (3)

 

Обертаючий момент М, що діє на циліндр, дорівнює добутку сили натягу шнура  на радіус циліндра r.

 

.                                                (4)

 

Сила натяги шнура  знаходиться з закону прямування гирі (другий закон Ньютона)

 

                                         (5)

 

відкіля

 

.               (6)

 

З урахуванням (6) знаходимо обертаючий момент із (4) у вигляді

 

                                       (7)

 

Підставляючи у формулу (2) отримані вираження для М и I визначаємо кутове прискорення

 

                                        (8)

 

Підставляючи (8) у (1) і вирішуючи отримане рівняння щодо а, одержуємо

 

;

 

.

Перевіряємо одиницю вимірювання

 

.

 

Приклад 11. Через блок, виконаний у вигляді диска, що має масу 80 г, перекинута тонка, гнучка нитка, до кінців якої підвішені вантажі масами 100 і 200 г. С яким прискоренням будуть рухатися вантажі, якщо їх надати самим собі? Тертям зневажити (рис. 1).

 

Рис. 1

 

Дано: m = 8·10-2  кг; m1 = 0,1 кг; m2  = 0,2 кг.

Знайти: а.

Рішення. Застосуємо до рішення задачі закон збереження енергії, відповідно до якого при відсутності тертя повна енергія ізольованої системи тіл залишається незмінної під час прямування цих тіл; енергія при цьому може тільки перетворюватися з потенційної в кінетичну або навпаки. Нагадаємо, що в механіці повною енергією тіла називається сума його потенційної і кінетичної енергій.

Нехай у початковий момент прямування потенційна енергія першого вантажу збільшилася, а другого зменшилася на mgh. Потенційна енергія першого вантажу стала П1 + m1gh, другого П2 + m2gh. Крім того, кожний вантаж, рухаючись із прискоренням а, придбав за цей час швидкість  і кінетичну енергію, рівну відповідно

 

       і        

Точно так само диск, що обертається рівноприскорено, набув кутової швидкості  і відповідну їй кінетичну енергію . Перетворимо вираження кінетичної енергії диска. Через те, що

 

За законом збереження енергії

 

 

Після перетворення маємо

 

 

Тому що вантажі рухалися рівноприскорено, то . Отже

 

,

 

відкіля

 

;

 

 

Приклад 12. Дископодібний маховик масою 50 кг і радіусом 0,2 м обертається з частотою 480 об/хв. Будучи наданим самому собі, під впливом сил тертя маховик зупинився. Знайти момент сил тертя, вважаючи його постійним, по таким даним: 1) маховик зупинився через 50 с; 2) маховик до повного припинення зробив 200 обертів.

Дано: m = 50 кг; r = 0,2 м; n = 480 об/хв= 8 об/с; t = 50 c; N = 200.

Знайти: М1, М2.

Рішення. 1) Момент сил тертя знайдемо з основного закону динаміки для обертального прямування  але  (маховик зупинився), тому  відкіля

.                                                       (1)

 

Момент інерції диска визначається за формулою

 

.                                                 (2)

 

Підставляючи вираження для моменту інерції диска у формулу (1) і виражаючи кутову швидкість  через число обертів в одиницю часу , знайдемо

 

;

 

 

2) В умові дане число обертів N, знаючи яке, можна знайти кутове переміщення , а  входить у формулу роботи моменту сили .

Робота, що чиниться маховиком, дорівнює зміні його кінетичної енергії, тобто

 

;                                   (3)

 

тому що , то

 

,                    (4)

 

відкіля , або з урахуванням вираження (2)

 

;                           (5)

 

.                            

 

Знак “мінус” показує, що момент сил тертя чинить гальмуючу дію.

Перевіряємо одиницю виміру .

 

Приклад 13. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом 1,5 м і масою 180 кг обертається по інерції біля вертикальної осі з частотою 10 хв-1. У центрі платформи стоїть людина масою 60 кг. Яку лінійну швидкість щодо підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Дано: m1 = 180 кг; R = 1,5 м; n = 10 хв-1; m2 = 60 кг.

Знайти: .

Рішення. Платформа обертається по інерції, отже, момент зовнішніх сил щодо осі обертання z, що збігає з геометричною віссю платформи, дорівнює нулю. При цій умові момент імпульсу Lz системи платформа-людина залишається постійним

 

,                                              (1)

 

де - момент інерції платформи з людиною щодо осі Z;  - кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи Iz = I1 + I2 , де I1 - момент інерції платформи; I2 - момент інерції людини. З урахуванням цього рівність має вигляд:

 

,                                            (2)

 

або

 

,                                     (3)

 

де значення величин із штрихами відносяться до кінцевого стана системи.

Момент інерції платформи (суцільного диска) щодо осі Z при переході людини не змінюється:

 

.                                             (4)

Момент інерції людини щодо тієї ж осі буде змінюватися. Якщо розглядати людину як матеріальну точку, то у початковому положенні (у центрі платформи) момент інерції дорівнює нулю. У кінцевому положенні (на кінці платформи) момент інерції людини .

Підставимо у формулу (3) знайдені вираження моментів інерції, а так само виражаємо початкову кутову швидкість  обертання платформи з людиною через частоту обертання n () і кінцеву кутову швидкість  - через лінійну швидкість  людини щодо підлогиі ():

 

 

Після скорочення на  і простих перетворень знайдемо шукану швидкість

 

.

 

З огляду на, що n = 10 хв-1=1/6 с-1, зробимо обчислення

 

 

Приклад 14. Яку швидкість потрібно надати ракеті, щоб вона, стартуючи із Землі, не повернулася на Землю? Опір атмосфери не враховувати.

Дано: R3 = 6,37·106 м; g = 9,8 м/с2; R ® .

Знайти: .

Рішення. По мірі віддалення ракети від Землі потенційна енергія її збільшується, а кінетична - зменшується. За законом збереження енергії

 

,                                 (1)

де m - маса ракети; М - маса Землі; G - гравітаційна стала;  і - швидкості ракети щодо Землі в початковий і аналізований моменти.

Після перетворення рівняння (1) маємо

 

.

Ракета не повернеться на Землю, якщо її швидкість  буде в нескінченності дорівнювати нулю, тобто  при R ® . Отже

 

.                                             (2)

 

З закону всесвітнього тяжіння випливає, що на поверхні Землі

 

, звідкіля ,                    (3)

 

де - прискорення вільного падіння на поверхні Землі.

Підставляючи (3) у (2), знайдемо

 

,         а       .

 

Вважаючи, що ракета набуває потрібної швидкості , вже поблизу поверхні Землі, знаходимо

 

.

 

Така швидкість необхідна для подолання гравітаційного поля Землі (друга космічна швидкість).

 

Приклад 15. Визначити імпульс і кінетичну енергію протона, що рухається зі швидкістю 0,7с (с швидкість світла у вакуумі).

Дано:  = 0,7с.

Знайти: р, WK.

Рішення. Імпульс частинки - добуток маси на швидкість:

 

                                                 (1)

 

Тому що швидкість близька до швидкості світла, потрібно врахувати залежність маси від швидкості

 

,                                             (2)

де m - маса частинки , що рухається, m0 - 1,67·10-27 кг - маса спокою протона,

с = 3·108 м/с.

Замінивши у формулі (1) масу m її вираженням (2), одержуємо

 

.                                                    (3)

 

Зробимо обчислення

.

 

У релятивістській механіці кінетична енергія частинки WK визначається як різниця між повною енергією Е и енергією спокою Е0, тобто WK = E - E0. Тому що

 

              і                             (4)

 

для WK отримаєм таке выражение

 

,                                     (5)

 

Дж.

 

3. МОДУЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1

 

Варіант 1

 

1.Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням , де C = 0,18 м/с2, D = 0,02 м/с3. Через який час після початку прямування тіло буте мати прискорення 0,6 м/с2? Знайти середнє прискорення тіла за цей проміжок часу.

2.Під яким кутом до обрію кинуте тіло, якщо відомо, що максимальна висота підйому дорівнює 1/3 частини дальності польоту? Опір повітря не враховувати.

3.За який час і на якій відстані поїзд зменшить швидкість від 30 до 12 м/с, якщо його вага дорівнює  Н, сила тяги дорівнює  Н, а коефіцієнт тертя 0,003?

4.Літак піднімається і на висоті 5 км досягає швидкості 340 км/год. У скільки разів робота, що чиниться при підйомі проти сили ваги, більше роботи, що йде на збільшення швидкості літака?

5.Яка кількість енергії витрачена на деформацію двох кульок , що зіткнулися , масою 5 кг кожна, якщо вони рухалися назустріч одна одній зі швидкістю 4 і 9 м/с, а удар був прямий і непружний?

 

Варіант 2

 

1.Прямолінійне прямування матеріальної точки задано рівнянням . Початок прямування при t = 0. Як змінюється модуль швидкості в момент часу t1 = 0,2 c; t2 = 0,5 c?

2.Через скільки секунд вектор швидкості тіла, кинутого під кутом 600 до обрію з початковою швидкістю 23 м/с, буде складати з обрієм кут 300? Опір повітря не враховувати.

3.Тіло масою 80 кг піднімається по похилій площині з кутом нахилу 300 під дією сили, спрямованої паралельно площини і рівної 1000 Н. Коефіцієнт тертя тіла об площину дорівнює 0,1. З яким прискоренням буде рухатися тіло?

4.У автомобіля масою 1 т, що рухається по горизонтальній дорозі зі швидкістю 36 км/год., включається двигун, завдяки чому швидкість автомобіля на шляху 30 м зростає на 44 км/год. Приймаючи повну силу опору рівної 1000 Н, визначити потужність двигуна.

5.Кулька масою 4 кг, що рухається зі швидкістю 3 м/с, зштовхується з кулькою масою 2 кг, що рухається їй назустріч зі швидкістю 5 м/с. Вважаючи удар центральним і абсолютно неупружним, визначити, яка кількість теплоти виділиться при ударі.

 

Варіант 3

 

1.Прямолінійне прямування матеріальної точки задано рівнянням  (м). Початок прямування при t = 0. Чи збігаються координата і пройдений шлях у момент часу t1 = 1 c; t2 = 1,5 c.

2.З вежі висотою 20,5 м у горизонтальному напрямку кинуте тіло зі швидкістю 9 м/с. Чому дорівнює швидкість тіла в момент падіння? Який кут утворить ця швидкість із горизонтальним напрямком? Опором повітря зневажити.

3.Молекула масою  кг, що летить зі швидкістю 620 м/с, вдаряється об стінку посудини під кутом 600 до нормалі і під таким же кутом пружно відскакує від неї без втрати швидкості. Знайти імпульс сили, отриманий стінкою під час удару.

4.Матеріальна точка масою 8 кг рухається прямолінійно відповідно до рівняння S = 4 + 2t3 під дією деякої сили. Знайти миттєву потужність у момент часу 2,5 с.

5.Два тіла рухаються назустріч одне одному і стикаються непружно. Швидкості тіл до удару були 2 і 4 м/с. Спільна швидкість тіл після удару 1 м/с і по напрямку збігаються з напрямком швидкості v1. У скільки разів кінетична енергія першого тіла була більше кінетичної енергії другого тіла?

 

Варіант 4

 

1.Матеріальна точка рухається відповідно до рівняння X = At + Bt2, де A = 2 м/с, B = 0,07 м/с2. Знайти швидкість і прискорення точки в момент часу t1 = 0 і t2 = 2 с. Які середні значення швидкості і прискорення за перші 2 с прямування?

2.М'яч із стрімкої скелі висотою 27,5 м кидають у горизонтальному напрямку з деякою початковою швидкістю. М'яч потрапляє в ціль, що лежить на землі, на відстані 35 м від основи скелі. З якою початковою швидкістю він був кинутий і яку кінцеву швидкість він придбав, попадаючи в ціль?

3.Кулька масою 200 г вільно падає з висоти 0,9 м на сталеву плиту і підстрибує на висоту 0,6 м. Визначити імпульс сили, наданий плиті.

4.Камінь, що рухається по поверхні льоду зі швидкістю 3 м/с, пройшов до повної зупинки відстань 36,4 м. Знайти коефіцієнт тертя каменю по льоду, вважаючи його сталим.

5.Нейтрон (маса mn) зштовхується з нерухомої альфа-частинкою (маса 4mn). Вважаючи удар центральним і абсолютно пружним, визначити, у скільки разів зменшиться енергія нейтрона.

 

Варіант 5

 

1.По прямій лінії рухаються дві матеріальні точки відповідно до рівнянь X1 = A1 + B1t + C1t2 і X2 = A2 + B2t + C2t2, де A1 = 20 м, B1 = 5 м/с, C1 =  = -4 м/с2, A2 = 2 м, B2 = 2 м/с, C2 = 0,5 м/с2. У який момент часу швидкості цих точок будуть однакові? Знайти прискорення a1 і a2 точок у цей момент часу.

2.Тіло кинуте зі швидкістю v0 під кутом до обрію. Тривалість польоту 2,8 с. Знайти найбільшу висоту підйому цього тіла. Опором повітря зневажити.

3.Ковзаняр, стоячи на ковзанах на льоду, кидає камінь масою 2,8 кг під кутом 200 до обрію зі швидкістю 10 м/с. Яка буде початкова швидкість прямування ковзаняра, якщо маса його 70 кг? Переміщенням ковзаняра під час кидка зневажити.

4.Тіло масою 5 кг рухається зі швидкістю 4,3 м/с і вдаряється об нерухоме тіло такої ж маси. Вважаючи удар центральним і непружним, знайти кількість теплоти, що виділилося при ударі.

5.Дві пружини жорсткістю к1 = 0,7 кН/м і к2 = 1 кН/м скріплені паралельно. Визначити потенційну енергію даної системи при абсолютній деформації, що дорівнює 2,5 см.

 

Варіант 6

 

1.Матеріальна точка рухається прямолінійно з прискоренням 8 м/с2. Визначити, на скільки шлях, пройдений точкою в n-ю секунду, буде більше шляху, пройденого в попередню секунду. Прийняти v0 = 0.

2.Камінь, кинутий із швидкістю 14 м/с під кутом 450 до обрію, упав на землю на відстані S від місця кидання. З якої висоти треба кинути камінь у горизонтальному напрямку, щоб при тій же початковій швидкості він упав на те ж місце?

3.Кулька масою 6 кг зштовхується з кулькою масою 4 кг. Швидкість першої кульки 4 м/с, другої 10 м/с. Знайти спільну швидкість кульок після удару в двох випадках: коли мала кулька наганяє велику кульку, що рухається в тому ж напрямку; коли кульки рухаються назустріч одна одній. Удар вважати прямим, центральним, непружним.

4.Тіло масою 5 кг рухається зі швидкістю 6 м/с і вдаряється об нерухоме тіло такої ж ваги. Вважаючи удар центральним і непружним, знайти кількість тепла, що виділилося при ударі.

5.Камінь кинутий із швидкістю 15 м/с під кутом 600 до обрію. Знайти кінетичну, потенційну і повну енергії каменя: через 1 с після початку прямування; у вищій точці траєкторії. Маса каменю 0,2 кг.

 

Варіант 7

 

1.Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням S = A - Bt + Ct2, де А = 6 м, В =3 м/с, С =2 м/с2. Знайти середню швидкість і середнє прискорення тіла для інтервалу часу  с.

2.На якій висоті вектор швидкості тіла, кинутого під кутом 450 до обрію з початковою швидкістю 22 м/с, буде складати з обрієм кут 300. Опір повітря не враховувати.

3.З висоти 2 м на сталеву плиту вільно падає кулька масою 170 г і підстрибує на висоту 0,8 м. Визначити імпульс, отриманий кулькою при ударі.

4. Знайти роботу, що треба учинити, щоб збільшити швидкість прямування тіла від 1 до 5 м/із на шляху в 10 м. На всьому шляху діє постійна сила тертя, рівна 0,2 кг. Маса тіла дорівнює 2 кг.

5. З знаряддя масою 2 т провадиться постріл снарядом масою 6 кг. Яку кінетичну енергію одержує знаряддя при віддачі, якщо кінетична енергія снаряда при вильоті зі стовбура складає 1,2 МДж?

 

Варіант 8

 

1.Прямування матеріальної точки задано рівнянням X = A + Bt + Ct3, де A = 5 м, B = 14 м/с, C = -2 м/с2. Знайти момент часу, в який швидкість точки обертається в нуль. Знайти координату і прискорення точки в цей момент.

2.М'яч кинули зі швидкістю 12 м/с під кутом 450 до обрію. Знайти: на яку висоту піднімається м'яч; на якій відстані від місця кидання він упаде на землю; скільки часу він буде в прямуванні. Опір повітря не враховувати.

3.Через нерухомий невагомий блок перекинута нитка з двома вантажами, маса одного з яких у два рази більше маси іншого. З яким прискоренням рухаються вантажі, чому дорівнюють їхні маси і яка сила натягу нитки, якщо сила тиску на вісь блока дорівнює 60 Н?

4.Робота, витрачена на штовхання ядра, кинутого під кутом 300 до обрію, дорівнює 246 Дж. Через скільки часу і на якій відстані від місця кидання ядро впаде на землю? Маса ядра 2 кг. Опір повітря не враховувати.

5.З вежі висотою 27 м горизонтально кинутий камінь із швидкістю 13 м/с. Знайти кінетичну і потенційну енергії каменю через час 1 с після початку прямування. Маса каменю 0,3 кг.

 

Варіант 9

 

1.Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням S = At - Bt2 + Ct3, де А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Знайти залежність швидкості і прискорення від часу t; відстань, пройдену тілом, швидкість і прискорення тіла через 2,7 с після початку прямування.

2.Тіло кинуте під кутом 540 до обрію зі швидкістю 35 м/с. Визначити швидкість тіла та її напрямок через 2 с після початку прямування, а також висоту підйому і дальність польоту в цей момент.

3.По горизонтальній поверхні переміщуються два тіла під дією третього, зв'язаного з першими двома ниткою, що перекинута через нерухомий невагомий блок. З яким прискоренням будуть переміщуватися тіла? Чому дорівнює сила натягу нитки між першим і другим, другим і третім тілами, якщо маси тіл дорівнює відповідно 2, 1 і 1 кг, а коефіцієнт тертя 0,2?

4.Визначити роботу розтягу двох сполучених послідовно пружин жорсткістю k1 = 400 Н/м і k2 = 300 Н/м, якщо перша пружина при цьому розтяглася на 2,5 см.

5.Шофер автомобіля, який має масу 1,2 т, починає гальмувати на відстані 35 м від перешкоди на дорозі. Сила тертя в гальмуючих колодках автомобіля 3,84 кН. При якій граничній швидкості прямування автомобіль встигне зупиниться перед перешкодою? Тертя коліс об дорогу зневажити.

 

Варіант 10

 

1.Шлях, пройдений точкою при її прямуванні по дузі радіусом R =8 м, залежить від часу відповідно до рівняння S = A + Bt + Ct2, де А = 7 м, В = -4 м/с, С = 2 м/с2. Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення точки в момент часу t = 3 с.

2.Камінь кинутий з вишки в горизонтальному напрямку зі швидкістю 28 м/с. Визначити швидкість, тангенціальне і нормальне прискорення каменю наприкінці другої секунди після початку прямування.

3.По похилій площині з кутом нахилу 300 переміщується нагору тіло масою 6 кг під дією другого тіла масою 5 кг, зв'язаного з першим ниткою, перекинутою через нерухомий невагомий блок. З яким прискоренням будуть рухатися тіла і чому дорівнює сила натягу нитки, якщо коефіцієнт тертя 0,2?

4.Парашутист масою 75 кг чинить затяжний стрибок і через 12 с має швидкість 60 м/с. Вважаючи прямування парашутиста рівноприскореним, знайти роботу з подолання опору повітря.

5.При пострілі зі знаряддя снаряд масою 10 кг одержує кінетичну енергію 1,5 МДж. Визначити кінетичну енергію стовбура знаряддя внаслідок віддачі, якщо маса стовбура знаряддя дорівнює 600 кг.

 

Варіант 11

 

1.Дві матеріальні точки рухаються відповідно до рівнянь X1 = A1 + B1t3, X2 =A2 + В2t2, де A1 = 3 м, B1 = 3 м/с3, A2 = 5 м, B2 = 4,5 м/с2. У який момент часу прискорення цих точок будуть однакові? Знайти швидкості v1 і v2 у цей момент.

2.Камінь кинутий горизонтально зі швидкістю 10 м/с. Знайти радіус кривизни траєкторії каменю через 4 с після початку прямування. Опір повітря не враховувати.

3.Космічний корабель масою 10 т при вертикальному підйомі за 10 с набрав висоту 3 км. Визначити силу тяги двигунів, швидкість, придбану кораблем за цей час, і перевантаження, випробувує космонавт.

4.Поїзд, що йшов із швидкістю 46 км/год., був загальмований. Через скільки часу він зупиниться, якщо коефіцієнт тертя коліс об рейки дорівнює 0,02?

5.Куля масою 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю 600 м/с, вдарилася об вільно підвішений дерев'яний брусок масою 5 кг і застрягла в ньому, поглибившись на 10 см. Знайти силу опору дерева прямуванню кулі.

 

Варіант 12

 

1.Залежність шляху від часу точки, що лежить на ободі колеса, дається рівнянням S = A + Bt + Ct2 + Dt3, де В = 1 м/с, С = 1 м/с2, D = 1 м/с3. Знайти радіус колеса, якщо відомо, що до кінця другої секунди прямування нормальне прискорення цієї точки дорівнює  м/с2. Знайти тангенціальне прискорення цієї точки.

2.З вежі висотою 20 м горизонтально кинутий камінь із швидкістю 13 м/с. Знайти: скільки часу камінь буде в прямуванні; на якій відстані від основи вежі він упаде на землю; із якою швидкістю він упаде на землю; який кут складе траєкторія каменю з обрієм у точці падіння на землю? Опір повітря не враховувати.

3.На кінцях нитки, перекинутої через нерухомий невагомий блок, підвішені тіла масами 240 кг кожне. Яку масу повинний мати додатковий вантаж (перевантажень), покладений на одне з тіл, щоб кожне з них пройшло за час 4 с шлях 160 см? Знайти силу тиску перевантаження на тіло.

4.З знаряддя масою 1000 кг вилетів у горизонтальному напрямку снаряд масою 10 кг із швидкістю 800 м/с. На яку відстань відкотиться знаряддя, якщо коефіцієнт тертя лафета об землю дорівнює 0,5?

5.З пружинного пістолета з жорсткістю пружини К = 150 Н/м був зроблений постріл кулею масою 6 г. Визначити швидкість кулі при вильоті її із пістолета, якщо пружина була стиснута на 3,4 см.

 

Варіант 13

 

1.Колесо радіусом 8 см обертається так, що залежність лінійної швидкості точок, що лежать на ободі колеса, від часу дається рівнянням v = At + Bt2, де А = 3 см/с, В = 1 см/с2. Знайти кут, що складається вектором повного прискорення з радіусом колеса, у момент часу 4 с після початку прямування.

2.Камінь кинутий із вишки в горизонтальному напрямку зі швидкістю 25 м/с. Визначити швидкість, тангенціальне і нормальне прискорення каменю наприкінці третьої секунди після початку прямування.

3.Вагон масою 20 т рухається рівносповільнено, маючи початкову швидкість 43,2 км/год. і прискорення 0,3 м/с2. Яка сила гальмування діє на вагон? Через який час вагон зупиниться? Яку відстань вагон пройде до зупинки?

4.Вантаж масою 10 кг сковзає по похилій площині з її верхнього кінця, розташованого на висоті 50 см. Довжина площини складає 1,5 м. Вантаж досягає нижнього краю площини, набувши швидкість, яка дорівнює 2,2 м/с. Яка робота була зроблена проти сил тертя? Чому дорівнює середня сила тертя при ковзанні вантажу?

5.Тіло вагою 49 Н вдаряється об нерухоме тіло масою 3,5 кг. Кінетична енергія системи цих двох тіл після удару стала дорівнювати 8 Дж. Вважаючи удар центральним і непружним, знайти кінетичну енергію першого тіла до удару.

 

Варіант 14

 

1.Залежність шляху від часу точки, що рухається по окружності радіусом 1,5 м, дається рівняннямм S = A + Bt + Ct2, де В= 20 м/с, С=-2 м/с2. Знайти повне прискорення цієї точки для моменту часу 4,3 с.

2.Під яким кутом до обрію потрібно направити струмінь води, щоб висота його підйому дорівнювала половині відстані, на який б’є струмінь води?

3.Камінь, прив'язаний до мотузки, рівномірно обертається у вертикальній площині. Знайти масу каменю, якщо відомо, що різниця між максимальним і мінімальним натягом мотузки дорівнює 14,7 Н.

4.Камінь масою 3 кг падає з деякої висоти. Визначити кінетичну і потенційну енергії каменю в середній точці його шляху, якщо відомо, що час падіння складає 2 с. Опором повітря зневажити.

5.Пружина жорсткістю 450 Н/м стиснута силою 100 Н. Визначити роботу зовнішньої сили, що додатково стискає цю пружину ще на 3 см.

 

Варіант 15

 

1.Рівняння прямування матеріальної точки має вид X = A + Bt + Ct3, де А = 2 м, В = 1 м/с, С = -0,5 м/с3. Знайти координату, швидкість і прискорення в момент часу 0,63 с. Визначити середню швидкість за проміжок часу 2 с.

2.З вежі висотою 25 м у горизонтальному напрямку кинуте тіло зі швидкістю 5 м/с. Визначити тангенціальне і нормальне прискорення тіла в точці, що відповідає половині всього часу падіння тіла. Встановити, на якій відстані від вежі впало тіло?

3.Літак, що летить із швидкістю 900 км/год., робить мертву петлю. Який повинний бути її радіус, щоб найбільша сила, що притискає льотчика до сидіння, дорівнювала шестиразовій силі ваги льотчика?

4.Тіло сковзає спочатку по похилій площині, що складає кут 180 з обрієм, а потім по горизонтальній поверхні. Знайти коефіцієнт тертя на всьому шляху, якщо відомо, що тіло проходить по горизонтальній площині ту ж відстань, що і по похилій площині.

5.З затвора автоматичного пістолета вилітає куля масою 8 г із швидкістю 320 м/с. Затвор пістолета масою 200 г притискається до стовбура пружиною, жорсткість котрої 25 кН/м. На яку відстань відійде затвор після постріла? Вважати, що пістолет жорстко закріплений.

Варіант 16

 

1.Точка рухається по окружності радіусом R = 4 м. Залежність її прямування виражається рівнянням S = A + Bt2, де А = 8 м, В = -2 м/с2. Знайти момент часу, коли нормальне прискорення точки an = 8 м/с2. Визначити швидкість, тангенціальне і повне прискорення в цей момент часу.

2.Струмінь води в гідромоніторі вилітає зі стовбура зі швидкістю 30 м/с під кутом 450 до обрію. Знайти дальність польоту і найбільшу висоту підйому струміню.

3.Кулька масою 2 кг рухається зі швидкістю 4 м/с і зштовхується з кулькою масою 3 кг, що рухається назустріч їй зі швидкістю 3 м/с. Які швидкості кульок після удару? Удар вважати абсолютно пружним, прямим, центральним.

4.М'яч, що летить із швидкістю 15 м/с, відкидається ударом ракетки в протилежному напрямку зі швидкістю 20 м/с. Знайти, чому дорівнює зміна імпульсу м'яча, якщо відомо, що зміна його кінетичної енергії при цьому дорівнює 7,5 Дж.

5.Молот масою 10 кг ударяє по невеличкому шматку м'якого заліза, що лежить на ковадлі. Маса ковадла 0,3 т. Визначити ККД удару молота. Удар вважати непружним. Корисною вважається робота деформації.

 

Варіант 17

 

1. Точка на ободі диска радіусом 0,2 м рухається відповідно до рівняння S = A + Bt + Ct3, де В = -1 см/с, С = 0,2 см/с3. Визначити тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок на ободі диска через 10 с після початку прямування.

2. М’ячик кинутий горизонтально з даху високого будинку зі швидкістю 13,6 м/с. Визначити місце розташування і швидкість м'яча через 3 с. Опір повітря не враховувати.

3. Кулька масою 50 г вдаряється об стінку зі швидкістю 5 м/с і відскакує від неї з тією ж швидкістю. Визначити силу, що подіяла на стінку, якщо до удару кулька рухалася під кутом 300 до площини стінки, а час співудару дорівнює 0,1 с.

4. З якою швидкістю рухався потяг масою 12000 т, якщо під дією гальмуючої сили 270 кН він пройшов із моменту початку гальмування до зупинки шлях 200 м?

5. Тіло масою 5 кг вдаряється об нерухоме тіло масою 2,5 кг, що після удару починає рухатися з кінетичною енергією 5 Дж. Вважаючи удар абсолютно пружним, знайти кінетичну енергію першого тіла до і після удару.

 

 

 

Варіант 18

 

1. Дві матеріальні точки рухаються відповідно до рівнянь Х1 = 4 + 8t2 - - 6t3 і X2 = 2t - 4t2 + t3. У який момент часу прискорення цих точок будуть однакові? Знайти швидкості точок у цей момент.

2. Снаряд вилетів із знаряддя з початковою швидкістю 70 м/с під кутом 300 до обрію. Визначити дальність польоту і час прямування снаряда. Знаряддя і точка падіння снаряда знаходяться на одній горизонталі.

3. Струмінь води перетином 6 см2 вдаряється о стінку під кутом 600 до нормалі і пружно відскакує від стінки без утрати швидкості. Знайти силу, що діє на стінку, якщо відомо, що швидкість плину води в струміні 12 м/с.

4.Автомобіль масою 0,8 т рухається під гору при включеному моторі з постійною швидкістю 54 км/год. Ухил гори дорівнює 4 м на кожні 100 м шляху. Яку потужність повинен розвивати двигун цього автомобіля, щоб автомобіль рухався з тієї ж швидкістю в гору з тим же ухилом?

5.У дерев'яну кульку масою 8 кг, підвішену на нитці довжиною 1,8 м, потрапляє куля , що горизонтально летить, масою 4 г. С якою швидкістю летіла куля, якщо нитка з кулькою і застряглою в неї кулею відхилилась від вертикалі на кут 30?

 

Варіант 19

 

1. Прямування матеріальної точки, що переміщається по прямій, задано рівнянням S = 4t3 + 2t + 1. Знайти в інтервалі часу, починаючи від 1 с до 3 с: миттєві швидкості на початку і наприкінці інтервалу; середню швидкість прямування; миттєве прискорення на початку і наприкінці інтервалу.

2. М'яч кинутий під кутом 560 до обрію зі швидкістю 40 м/с. Визначити найбільшу висоту підйому і дальність польоту. Опором повітря зневажити.

3. Автомобіль масою 1000 кг, рухаючись рівносповільнено, зупинився через час 5 с, пройшовши шлях 35 м. Знайти початкову швидкість автомобіля і силу гальмування.

4. Вагон масою 18 т рухався зі швидкістю 1 м/с. Налетівши на пружинний буфер, він зупинився, стиснувши пружину буфера на 15 см. Визначити жорсткість пружини.

5. Тіло рухалося зі швидкістю 3 м/с. Потім у плині 5 с на нього діяла сила 5 Н. За цей час кінетична енергія збільшилася на 120 Дж. Знайти швидкість тіла наприкінці дії сили і його маси.   

 

 

 

 

Варіант 20

 

1. Точка рухається по колу так, що залежність шляху від часу дається рівняння X = 0,001t3. Радіус кола 2 см. Знайти нормальне і тангенціальне прискорення точки в момент, коли лінійна швидкість точки дорівнює 0,6 м/с.

2. Під яким кутом до обрію потрібно кинути тіло, щоб дальність польоту дорівнювала максимальній висоті підйому?

3. Шайба, що рухається по поверхні льоду з початковою швидкістю 25 м/с, зупинилася через 50 с. Знайти коефіцієнт тертя шайби об лід.

4. Сталева кулька масою 20 г, падаючи з висоти 1,1 м на сталеву плиту, відскакує від її на висоту 70 см. Знайти імпульс сили, отриманий плитою під час удару, і кількість теплоти, що виділилося при ударі.

6. З знаряддя масою 4,5·103 кг вилітає снаряд масою 100 кг. Кінетична енергія снаряда при вильоті дорівнює 6,5·106 Дж. Яку кінетичну енергію одержить знаряддя внаслідок віддачі?

 

Варіант 21

 

1.Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння прямування має вид X = 2t + 0,06t3. Знайти швидкість і прискорення точки в момент часу t1 = 0 і t2 = 3 с. Які середні значення швидкості і прискорення за перші 3 с прямування?

2.М'яч кинутий із швидкістю 15 м/с під кутом 450 до обрію. Знайти, на яку висоту піднімається м'яч? На якій відстані від місця кидання він упаде на землю? Який час він буде в прямуванні?

3.Тіло лежить на похилій площині, що складає з обрієм кут 40. При якому граничному коефіцієнті тертя тіло почне сковзати по похилій площині? З яким прискоренням буде сковзати тіло по площині, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,03? Який час буде потрібно для проходження при цих умовах шляху 130 м? Яку швидкість тіло матиме наприкінці шляху?

4.Дві пружини жорсткістю 300 і 400 Н/м скріплені послідовно. Визначити роботу з розтягу обох пружин, якщо друга пружина розтягнута на 3,4 см.

5.Куля масою 10 г, що летить із швидкістю 540 м/с, потрапила в балістичний маятник масою 3 кг і застрягла в ньому. На яку висоту, відкачнувшись після удару, піднявся маятник?

 

Варіант 22

 

1.Точка рухається по колу так, що залежність шляху від часу дається рівнянням S = t2 - 2t (м). Знайти лінійну швидкість точки, її тангенціальне, нормальне і повне прискорення через 4 с після початку прямування, якщо нормальне прискорення точки через 2 с після початку прямування дорівнює 0,5 м/с2.

2.Під яким кутом до обрію потрібно кинути тіло, щоб дальність польоту була у 3 рази більше, ніж найбільша висота підйому? Опір повітря не враховувати.

3.Дві гирі масами 1 і 3 кг сполучені ниткою, що перекинута через невагомий блок. Знайти прискорення, з якими рухаються гирі, і силу натягу нитки. Тертям у блоці зневажити.

4.Вагон масою 104 кг відчепився від потягу, що рухається, і, рухаючись рівносповільнено, за 18 с пройшов шлях 20 м, після чого зупинився. Знайти силу тертя, початкову швидкість вагону і коефіцієнт тертя.

5.У балістичний маятник масою 5 кг потрапила куля масою 16 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту 20 см.

 

Варіант 23

 

1.Визначити швидкість і повне прискорення точки в момент часу 2 с, якщо вона рухається по окружності радіусом 15 м відповідно до рівняння x = 20t - t3.

2.З вежі висотою 20 м горизонтально кинутий камінь із швидкістю 10 м/с. Який час камінь буде в прямуванні? На якій відстані від основи вежі він упаде на землю? З якою швидкістю він упаде на землю? Який кут складає траєкторія каменю з обрієм у точці його падіння на землю?

3.Яку силу потрібно прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб вагон став рухатися рівноприскорено і за час 20 с пройшов шлях 21 м? Маса вагона 13 т. Під час прямування на вагон діє сила тертя, що дорівнює 0,05 сили ваги, що на нього діє.

4.З пружинного пістолета з жорсткістю пружини 200 Н/м був зроблений постріл кулею масою 10 г. Визначити швидкість кулі при вильоті з пістолета, якщо пружина була стиснута на 3 см.

5.Куля вдарилася в дерево і поглибилася в нього на 56 см. Знайдіть середню потужність, що розвила куля, поглибившись у дерево. Маса кулі 10 г, швидкість 630 м/с.

 

Варіант 24

 

1.Прямолінійне прямування точки описується рівнянням S = 2t4 + + 2t2 + 7. Знайти швидкість і прискорення точки в момент часу t = 2 с і середню швидкість за перші 2 с.

2.Струмінь води в гідромоніторі вилітає зі стовбура зі швидкістю 45 м/с під кутом 350 до обрію. Знайти дальність польоту і найбільшу висоту підйому струменю.

3.Тіло рухається по похилій площині довжиною 15 м, що утворить кут 450 з обрієм. Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину, якщо час ковзання склав 2,3 с.

4.Бойок пальового молота масою 550 кг падає з деякої висоти на палю масою 100 кг. Знайти ККД бойка, вважаючи удар непружним. Корисною вважати енергію, яка пішла на поглиблення палі.

5.Кулька масою 5 кг рухається зі швидкістю 2 м/с і зштовхується з нерухомою кулькою масою 6 кг. Яка робота буде зроблена при деформації кульок? Удар вважати абсолютно непружним, прямим, центральним.

 

Варіант 25

 

1.Закон прямування точки по кривої виражається рівнянням . Знайти: 1) шлях, пройдений точкою за проміжок часу від t = 0 до t = 4 с; 2) радіус кривизни траєкторії в тому місці, де буде знаходиться точка в момент часу 4 с, якщо нормальне прискорення в цей момент дорівнює 6 м/с2.

2.М'яч кинутий із швидкістю, горизонтальна і вертикальна складова котрої Vox = 8 м/с і Voy = 6 м/с. Відстань до стінки від точки кидання 4,5 м. У якому положенні буде знаходиться м'яч при зіткненні зі стінкою? (На підйомі, на спуску, у вищій точці траєкторії).

3.Граната, що летить зі швидкістю 25 м/с, розривається на два осколки. Один з осколків, маса якого складає 65 % від маси всієї гранати, продовжує рухатися в старому напрямку зі зростаючої до 48 м/с швидкістю. Визначити швидкість другого осколка.

4.Кулька масою 1,5 кг, що рухається зі швидкістю 4 м/с, зштовхується з нерухомою кулькою масою 2,7 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, знайти кінетичну енергію кульок після удару.

5.Яку потрібно виконати роботу, щоб пружину жорсткістю 700 Н/м, стиснуту на 5 см, додатково стиснути на 7 см?

 

Варіант 26

 

1. Матеріальна точка рухається по окружності радіусом 2 м відповідно до рівняння S = 9t - 0,2t3. Знайти швидкість, тангенціальне, нормальне і повне прискорення точки в момент часу 3 с.

2. Під яким кутом до обрію потрібно встановити стовбур знаряддя, щоб уразити ціль, яка знаходиться на відстані 15 км, якщо початкова швидкість снаряда 450 м/с? Опір повітря не враховувати.

3. Через блок перекинута нитка, до якої підвішені вантажі масами 200 і 300 г. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися вантажі. Тертям зневажити.

4. Через декілька часу після початку аварійного гальмування зупиниться автобус, що рухається зі швидкістю 38 м/с, якщо коефіцієнт тертя при аварійному гальмуванні дорівнює 0,2?

5. Баба копра масою 7,5 т падає на палю масою 500 кг. Визначити ККД удару, вважаючи удар абсолютно непружним, а корисною енергію, що придбана палею.

 

Варіант 27

 

1. Прямування матеріальної точки задано рівнянням x = 4t - 0,05t2. Визначити момент часу, у який швидкість точки дорівнює нулю. Знайти координату і прискорення в цей момент часу.

2. Камінь кинутий із швидкістю, горизонтальна і вертикальна складові котрої Vox = 8 м/с і Voy = 5 м/с. Скільки часу знадобиться каменю, щоб досягти вищої точки траєкторії? На якій відстані від місця кидання впаде камінь?

3. Знайти величину сили, що діє на тіло масою 2 кг, якщо воно зі стана спокою на протязі 10 с переміщується на відстань 70 м.

4. Пружина жорсткістю 500 Н/м стиснута силою 120 Н. Визначити роботу зовнішньої сили, що додатково стискує цю пружину ще на 4 см.

5. Ковзаняр, стоячи на льоду, кинув гирю масою 2 кг вперед і унаслідок віддачі покотився назад зі швидкістю 1 м/с. Маса ковзаняра 65 кг. Визначити роботу, зроблену ковзанярем при киданні гирі.

 

Варіант 28

 

1. Автомобіль рухається по заокругленню шосе, що має радіус кривизни 25 м. Закон його прямування виражається рівнням S =10+10t -0,5t2. Знайти швидкість автомобіля, його тангенціальне, нормальне і повне прискорення в момент часу t = 4 с.

2. Тіло кинули з вежі висотою 60 м горизонтально зі швидкістю 42 м/с. На якій відстані від вежі тіло впаде на землю? Скільки часу воно буде знаходиться в прямуванні?

3. Дві кульки рухаються назустріч одна одній уздовж прямої, що проходить через їхні центри. Маса і швидкість першої кульки дорівнюють 4 кг і 6 м/с, другої - 3 кг і 2 м/с. Як будуть рухатися кульки після абсолютно непржного удару?

4. Автомобіль масою 2 т загальмував і зупинився, пройшовши шлях 60 м. Знайти роботу сили тертя і зміну кінетичної енергії автомобіля, якщо дорога горизонтальна, а коефіцієнт тертя 0,34.

5. Тіло масою 2 кг непружно зштовхується з тілом масою 1,5 кг, що рухається йому назустріч. Перед зіткненням тіла мали швидкості відповідно 1 м/с і 2 м/с. Скільки часу будуть рухатися ці тіла після зіткнення, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,05?

 

Варіант 29

 

1. Матеріальна точка рухається прямолінійно відповідно до рівняння x = At + Bt3, де А = 3 м/с, В = 0,6 м/с3. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t1 = 0 з і t2 = 2 с. Які середні значення швидкості і прискорення за перші 2 с прямування?

2. Камінь, кинутий із швидкістю 12 м/с під кутом 450 до обрію, упав на землю на відстані S від місця кидання. З якої висоти h треба кинути камінь у горизонтальному напрямку, щоб при тієї ж швидкості V0 він упав на те ж місце?

3. Порожній вантажний автомобіль масою 4,5 т починає прямування з прискоренням 0,5 м/с2. Яка маса вантажу, прийнятого автомобілем, якщо при тієї ж силі тяги він рушає з місця з прискоренням 0,2 м/с2?

4. Яку роботу виконує двигун автомобіля «Жигулі» масою 1,3 т при зрушуванні з місця на перших 75 м шляху, якщо цю відстань автомобіль проходить за 10 с, а коефіцієнт опору прямуванню дорівнює 0,5?

5. Тіло кинуте під кутом 600 до обрію. Кінетична енергія тіла в початковий момент дорівнювала 24 Дж. Знайти кінетичну і потенційну енергію тіла в найвищій точці його траєкторії.

 

Варіант 30

 

1. Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням S = 3 + 2t + t2. Знайти середню швидкість і середнє прискорення тіла за першу, другу і третю секунди його прямування.

2. Знайти радіус кривизни траєкторії, на якій літак робить розворот, якщо у даній точці швидкість літака дорівнює 200 м/с, його повне прискорення 20 м/с2, а тангенціальне прискорення 12 м/с2.

3. З якою середньою силою давить на плече кулемет при стрілянині, якщо маса кулі 10 г, її швидкість при вильоті 600 м/с і скорострільність кулемета 500 пострілів у хвилину?

4. Кулька масою 2 кг, що рухається зі швидкістю 4 м/с, наздоганяє кульку масою 4 кг, що рухається в тому ж напрямку зі швидкістю 2 м/с. Вважаючи удар непружним, визначити кінетичну енергію кульок після удару.

5. Камінь, що рухається по поверхні льоду зі швидкістю 2 м/с, пройшов до зупинки відстань 20,4 м. Знайти коефіцієнт тертя каменю по льоді, рвважаючи його постійним.

 

 

Варіант 31

 

1. Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням S = Bt + Ct2 + Dt3, де C = 0,2 м/с2, D = 0,02 м/с3. Визначити прискорення тіла в момент часу t = 2 с. Знайти середнє прискорення за цей проміжок часу.

2. Камінь кинутий під кутом 300 до обрію з початковою швидкістю 26 м/с. На яку максимальну висоту підніметься камінь? На якій відстані від місця кидання він упаде на землю?

3. М'яч масою 450 г із швидкістю 50 м/с вдаряється об вертикальну стінку і пружно відскакує. Стінка одержує імпульс, який дорівнює 2,8 кг·м/с. Визначити кут і силу удару при тривалості удару 0,02 с.

4. Визначити потужність двигуна шахтної клітини, що піднімає із шахти глибиною 300 м вантаж масою 10 т за 1 хв., якщо коефіцієнт корисної дії 75 %.

5. Тіло масою 3 кг рухається зі швидкістю 4 м/с і вдаряється об нерухоме тіло такогї ж ваги. вважаючи удар непружним, знайти кількість тепла, що виділилося при ударі.

 

Варіант 32

 

1. Точка рухається по окружності радіусом 4 м. Закон її прямування виражається рівнянням S = 18 - 2t2. Знайти, в який момент часу нормальне прискорення буде дорівнювати 10 м/с2; чому дорівнює швидкість, тангенціальне і повне прискорення точки в цей момент часу?

2. Камінь кинутий у горизонтальному напрямку. Через 0,5 с після початку прямування швидкість каменю стала в 1,5 рази більше його початкової швидкості. Знайти початкову швидкість каменю. Опір повітря не враховувати.

3. Знайти величину сили, що діє на тіло масою 5 кг, якщо воно зі стана спокою на протязі 5 с переміщується на відстань 40 м.

4. Через скільки часу після початку аварійного гальмування зупиниться автобус, що рухався зі швидкістю 20 м/с, якщо коефіцієнт тертя при аварійному гальмуванні дорівнює 0,4?

5. У автомобіля масою 1,2 т, що рухається по горизонтальній дорозі зі швидкістю 36 км/год., включається двигун, завдяки чому швидкість автомобіля на шляху 50 м зростає до 54 км/год. Приймаючи повну силу опору рівної 100 Н, визначити потужність двигуна.

 

Варіант 33

 

1. Дві матеріальні точки рухаються відповідно до рівнянь x1 = 4t + 8t2 -- 6t3 і x2 = 2t - 4t2 + t3. У який момент часу прискорення цих точок будуть однакові. Знайти швидкості цих точок у цей момент часу.

2. Тіло кинуте зі швидкістю  під кутом a до обрію. Знайти величини  і a, якщо відомо, що найбільша висота підйому тіла дорівнює 3 м і радіус кривизни у верхній точці траєкторії 3 м. Опір повітря не враховувати.

3. М'яч масою 100 г, що рухається зі швидкістю 7 м/с, вдаряється об стінку так, що кут між векторами швидкості до і після удару дорівнює 600. Вважаючи удар пружним, визначити тривалість удару, якщо відомо, що сила удару 25 Н.

4. Яку роботу виконує двигун автомобіля «Жигулі» масою 1,2 т при троганії з місця, якщо цю відстань автомобіль проходить за 16 с, а коефіцієнт опору прямуванню дорівнює 0,05?

5. Налетівши на пружинний буфер, вагон масою 14 т, що рухається зі швидкістю 0,6 м/с, зупинився, стиснувши пружину на 8 см. Знайти загальну жорсткість К пружини буфера.

 

4. МОДУЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 2

 

Варіант 1

 

1. Колесо, що обертається рівносповільнено, зменшило свою частоту за 1 хв. з 360 до 180 об/хв. Знайти кутове прискорення колеса і число обертів, зроблених їм за цей час.

2. Диск радіусом 15 см і масою 5 кг обертається відповідно до рівняння j = A + Bt + Ct3, де A = 3 рад, B = -1 рад/с, С = 0,5 рад/с3. Знайти закон, по якому змінюється обертаючий момент, що діє на диск. Визначити момент сил у момент часу 2 с.

3. На верхній поверхні горизонтального диску, що може обертатися навколо вертикальної осі, прокладені по окружності радіусом 40 см рейки іграшкової залізниці. Маса диска 12 кг, його радіус 60 см. На рейки нерухомого диска був поставлений заводний паровозик масою 0,8 кг і випущений із рук. Він почав рухатися зі швидкістю 0,8 м/с. С якою кутовою швидкістю буде обертатися диск.

4. Знайти доцентрове прискорення, із яким рухається по круговій орбіті штучний супутник Землі, що знаходиться на висоті 300 км від поверхні Землі.

5. У лабораторній системі відліку віддаляються одна від одної дві частинки з однаковими по абсолютному значенню швидкостями. Їхня відносна швидкість у тієї ж системі відліку дорівнює 0,5 с. Визначити швидкість частинок.

 

 

 

Варіант 2

 

1.Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом j = A + Bt + Ct2, де A = 10 рад, B = 15 рад/с, С = -1 рад/с2. Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані 0,2 м від осі обертання, для моменту часу 3 с.

2.Маховик радіусом 10 см насаджений на горизонтальну вісь. На обід моховика намотаний шнур, до якого прив'язаний вантаж масою 600 г. Спускаючись рівноприскорено, вантаж пройшов відстань 2 м за 2 с. Визначити момент інерції маховика.

3.Платформа у вигляді диска діаметром 4 м і масою 200 кг може обертатися навколо вертикальної осі. З якою кутовою швидкістю буде обертатися ця платформа, якщо по її краю пройде людина масою 60 кг із швидкістю 1,8 м/с, щодо платформи?

4.Зневажаючи зміною ваги внаслідок обертання Землі і Місяця, обчислити, скільки б важила на поверхні Місяця людина, що важить на Землі 640 Н.

5.У скільки разів час існування нестабільної частинки, що рухається зі швидкістю 0,95с (с - швидкістю світла) щодо Землі, що вимірюване по «земному годиннику», більше її власного часу?

 

Варіант 3

 

1.Знайти кутове прискорення колеса, якщо відомо, що через 1,2 с після початку рівноприскореного прямування вектор повного прискорення точки, що лежить на ободі, складає кут 300 із напрямком лінійної швидкості цієї точки.

2.Стрижень обертається навколо осі, що проходить через його середину, відповідно рівняння j = At + Bt3, де А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Визначити обертаючий момент, що діє на стрижень через 3 с після початку обертання, якщо момент інерції стрижня дорівнює 0,068 кг·м3.

3.Людина масою 70 кг знаходиться на нерухомій платформі масою 120 кг. Яку кінетичну енергію отримає платформа з людиною, якщо людина піде по окружності радіусом 5 м навколо осі обертання зі швидкістю щодо платформи 3,6 км/год? Радіус платформи 10 м. Вважати платформу однорідним диском, людину - точковою масою.

4.Маса Місяця у 81 разів менше маси Землі, а радіус Місяця 1700 км. В скільки разів прискорення вільного падіння поблизу місячної поверхні менше, ніж поблизу земної?

5.Частинка рухається зі швидкістю, яка дорівнює 0,6с. Яку частку енергії спокою складає кінетична енергія частинки?

 

 

 

Варіант 4

 

1. Визначити повне прискорення в момент часу 2 с точки, що знаходиться на ободі колеса радіусом 0,3 м, що обертається відповідно до рівняння j = At + Bt4, де А = 1 рад/с, В = 0,1 рад/с4.

2. Кулька і суцільний циліндр однакової маси й однакового радіуса, рухаючись з однаковою швидкістю, укочуються нагору по похилій площині. Яке тіло підніметься вище? Знайти відношення висот підйому.

3. Горизонтальна платформа масою 100 кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи, роблячи 16 об/хв. Людина масою 70 кг стоїть при цьому на краю платформи. Яку роботу виконає людина при переході до центру платформи? Радіус платформи 2 м.

4. Штучний супутник, що використовується у системі телезв'язку, запущений у площині земного екватора так, що увесь час знаходиться в зеніті однієї й тієї ж точки земної кулі. У скільки разів радіус орбіти супутника R більше радіуса Землі Rз = 6400 км? Прискорення вільного падіння у поверхні Землі 9,8 м/с2.

5. З якою швидкістю щодо Землі повинен рухатися космічний корабель, щоб його подовжні розміри для земного спостерігача були в 2,5 рази менше, ніж для космонавта на кораблі?

 

Варіант 5

 

1. Точка рухається по окружності радіусом 20 см із постійним кутовим прискоренням. Визначити тангенціальне прискорення точки, якщо відомо, що за 5 с вона учинила два обороти і наприкінці третього обороту її нормальне прискорення складало 4 м/с2.

2. До ободу диска масою 4 кг прикладена постійна дотична сила, що дорівнює 25 Н. Яку кінетичну енергію буде мати диск через 0,5 с після початку дії сили?

3. Платформа у вигляді суцільного диску радіусом 2,5 м і масою 200 кг обертається по інерції біля вертикальної осі з частотою 0,5 об/хв. У центрі платформи стоїть людина масою 60 кг. Яку лінійну швидкість щодо підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

4. Який радіус орбіти супутника, що лежить в екваторіальній площині, якщо він увесь час знаходиться в зеніті над однією і тією же точкою земної поверхні?

5. Яка маса протона в системі відліку, відносно якої він рухається зі швидкістю 0,86с?

 

 

 

Варіант 6

 

1. Диск радіусом 0,2 м обертається відповідно до рівняння  , де В = -2 рад/с, С = 0,2 рад/с3. Визначити тангенціальне, нор-мальне і повне прискорення точок на окружності диску для моменту часу 3 с.

2. Циліндр масою 6 кг насаджений на горизонтальну вісь. На циліндр намотаний шнур, до якого прив'язали гирю масою 0,8 кг. З яким прискоренням буде опускатися гиря?

3. Платформа у вигляді диску радіусом 2 м і масою 160 кг почала обертатися з кутовою швидкістю 0,5 рад/с, після того як по її краю пішла людина масою 60 кг. Визначити швидкість людини щодо платформи.

4. На якій відстані від центру Землі повинне знаходитись тіло, щоб сили його тяжіння до Землі і Місяця взаємно врівноважувалися? Вважати, що маса Землі у 81 разів більше маси Місяця, а відстань між їхніми центрами дорівнює 60 радіусам Землі.

5. З якою швидкістю зближуються дві частинки, що летять назустріч одна одній, якщо швидкість першої із них дорівнює 0,9с, а другої 0,97с, де с - швидкість світла?

 

Варіант 7

 

1. Визначити кутове прискорення маховика, чия кутова швидкість, через час 15 повних обертів зросла від 1 об/с до 4 об/с.

2. Блок, що має форму диска масою 0,5 кг, обертається під дією сили натягу нитки, до кінців якої підвішені вантажі масою 0,2 і 0,7 кг. Визначити сили натягу нитки з обох боків блока.

3. На краю нерухомої лавки Жуковського діаметром 0,8 м і масою 6 кг стоїть людина масою 60 кг. З якою кутовою швидкістю почне обертатися лавка, якщо людина впіймає м'яч, що летить на нього, масою 0,3 кг? Траєкторія м'яча горизонтальна і проходить на відстані 0,2 м від осі лавки. Швидкість м'яча 4 м/с.

4. Супутник масою 12 т обертається по круговій орбіті навколо Землі, володіючи кінетичною енергією  кДж. З якою швидкістю і на якій висоті обертається супутник?

5. Дві релятивістські частинки рухаються в лабораторній системі відліку зі швидкостями 0,8с і 0,9с уздовж однієї прямої. Визначити їхню відносну швидкість у двох випадках: частинки рухаються в однім напрямку; частинки рухаються в протилежних напрямках.

 

Варіант 8

 

1. Маховик обертається за законом, вираженому рівнянням j = 0,5t2. Знайти кутову швидкість і кутове прискорення маховика в момент часу 3 с. Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення в цей момент часу для точки, що лежить на маховику на відстані 0,6 м від осі обертання.

2. Під дією моменту сили, який дорівнює 20,6 Н·м, маховик починає обертатися рівноприскорено і, зробивши 7 повних обертів, набув кутової швидкості 12 об/с. Визначити момент інерції маховика.

3. Платформа у вигляді диска радіусом 1 м обертається по інерції з частотою 6 об/хв. На краю платформи стоїть людина масою 85 кг. З якою частотою буде обертатися платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції платформи без людини 100 кг×м2.

4. За допомогою ракети тіло підняте на висоту 700 км. Яке прискорення сили ваги на цій висоті? З якою швидкістю варто кинути це тіло по напрямку, перпендикулярному до земного радіуса, щоб воно описало окружність навколо Землі? Який буде при цьому період обертання тіла навколо Землі? Радіус Землі вважати рівним 6400 км. Опором атмосфери зневажити.

5. На скільки відсотків релятивістська маса частинки більше маси спокою при швидкості 50 Мм/с?

 

Варіант 9

 

1. Великий шків ремінної передачі має радіус 30 см і обертається зі швидкістю 90 об/хв. Малий шків передачі має радіус 20 см. Знайти лінійну швидкість точок ременя; кутову швидкість обертання малого шківа і число його обертів у хвилину; нормальне прискорення точок, що лежать на циліндричних поверхнях великого і малого шківів.

2. Вал масою 50 кг і радіусом 10 см обертається по інерції, роблячи 6 об/с. До циліндричної поверхні вала притиснули гальмівну колодку із силою 40 Н и через 10 с вал зупинився. Знайти коефіцієнт тертя.

3. Нитка з прив'язаними до її кінців вантажами масами 20 і 50 г перекинута через блок діаметром 4 см. Визначити момент інерції блока, якщо під дією сили ваги вантажів він одержав кутове прискорення 1,5 рад/с2. Тертям і прослизанням нитки по блоці зневажити.

4. Супутн